La géométrie spectrale est le domaine des mathématiques qui vise à faire le lien entre la géométrie d'un objet et son spectre de vibration. Le domaine a connu une première naissance dans les années 1910, quand les précurseurs de la mécanique quantique ont cherché à calculer le spectre des atomes à partir de considérations géométriques sur le modèle planétaire. La question s'est ensuite muée en l'étude du spectre d'opérateurs de Schrödinger, en lien avec la géométrie symplectique dans l'espace des phases de la mécanique classique.

La seconde naissance du domaine remonte aux années 1960 avec le théorème de l'indice, qui donne des relations entre certains « indices topologiques » (par exemple la caractéristique d'Euler d'un espace topologique) et le bas du spectre d'un opérateur elliptique (comme l'opérateur de Laplace). Ce domaine connaît actuellement une activité intense du côté de la physique, avec la découverte du rôle de la notion d'« indice » dans la description des matériaux topologiques.

Parmi les grandes questions de la géométrie spectrale, citons :

Le chaos quantique : c'est l'étude du spectre d'un opérateur de Schrödinger, quand le système hamiltonien qui lui correspond en mécanique classique est chaotique ;

Les problèmes inverses : que peut-on deviner de la géométrie d'un objet à partir de la mesure de son spectre de vibration ?

Le lien entre spectre et topologie, via divers avatars du théorème de l'indice ;

Le spectre de systèmes désordonnés ou d'objets géométriques aléatoires ;

Le lien entre géométrie et contrôle des ondes : quels sont les meilleurs endroits où se placer pour « diriger » une onde ?

Le cours sera tourné vers les aspects mathématiques de ces questions, mais certaines années le séminaire sera l'occasion d'entendre des physiciens présenter leurs travaux en lien avec le cours.